Deux chercheurs, Peter Scholze et Dustin Clausen, entreprennent une refonte en profondeur des fondations des mathématiques en substituant aux espaces topologiques classiques une structure plus adaptée à l'algèbre moderne. Leur programme, baptisé « mathématiques condensées », vise à résoudre une tension qui traverse une grande partie de la discipline : les espaces topologiques, pourtant piliers de la topologie et de l'analyse, se comportent mal dès que l’on souhaite y faire de l’algèbre.
La topologie est souvent présentée comme une « géométrie de la feuille de caoutchouc » où deux formes sont équivalentes si l’on peut passer de l’une à l’autre par déformation continue sans déchirure. Cette intuition remonte au début du XXe siècle, lorsque les espaces topologiques furent formalisés pour accompagner les révolutions de la logique et de la théorie des ensembles. Depuis, ils servent de fondation à d’immenses édifices mathématiques, mais ils se révèlent « extrêmement mal adaptés » à une part importante des mathématiques contemporaines, notamment l’algèbre.
Une faille dans le pilier de la topologie
Le problème est structurel : les espaces topologiques permettent de définir la continuité, mais ils ne facilitent pas les constructions algébriques comme les quotients, les produits tensoriels ou les limites projectives. Les mathématiciens qui travaillent en géométrie algébrique ou en théorie des nombres se heurtent régulièrement à ces difficultés, ce qui les oblige à recourir à des artifices techniques. Peter Scholze, médaille Fields 2018, et Dustin Clausen, chercheur à l’Institut de mathématiques de l’Université de Copenhague, ont entrepris de corriger cette faiblesse à la racine.
Leur idée consiste à remplacer la catégorie des espaces topologiques par celle des « ensembles condensés ». Ces objets sont des faisceaux sur la catégorie des ensembles profinis, c’est-à-dire de petites structures compactes qui captent les propriétés de compacité et de continuité sans les lourdeurs des espaces topologiques ordinaires. Le cadre ainsi obtenu permet de réaliser la plupart des constructions algébriques souhaitées tout en restant fidèle aux intuitions topologiques.
Un chantier en plusieurs volumes
Les deux auteurs ont déjà publié une série d’articles développant ce nouveau langage. Le premier, intitulé « Condensed Sets and Their Applications », pose les bases de la théorie. Un second expose comment les mathématiques condensées permettent de traiter des objets classiques comme les groupes topologiques ou les espaces vectoriels topologiques sans les pathologies qui affectent la topologie usuelle. Un troisième texte aborde des applications en cohomologie étale et en théorie de Hodge, domaines centraux de la géométrie algébrique moderne.
Ce programme s’inscrit dans un mouvement plus large de refondation des mathématiques. Depuis le début du XXe siècle, plusieurs tentatives ont visé à unifier l’algèbre et la topologie : la théorie des catégories, la notion de topos élaborée par Alexandre Grothendieck, ou encore la théorie des types homotopiques. Les mathématiques condensées se présentent comme une proposition pragmatique, qui conserve les avantages des approches existantes tout en simplifiant les constructions.
Implications pour la recherche
Si le programme aboutit, les mathématiciens pourraient disposer d’un langage commun pour parler de continuité et d’algèbre sans avoir à jongler avec des correctifs techniques. Les applications potentielles concernent la théorie des nombres, la géométrie arithmétique, la topologie algébrique et même l’analyse fonctionnelle. Peter Scholze et Dustin Clausen espèrent que leurs travaux permettront de clarifier des résultats déjà connus et d’en découvrir de nouveaux.
Le chantier reste néanmoins ouvert : la théorie des ensembles condensés n’en est qu’à ses débuts, et de nombreux mathématiciens doivent encore se l’approprier. Les deux chercheurs continuent de publier des notes et des cours en ligne pour diffuser leur approche. L’objectif final, ambitieux, est de proposer une refondation complète des fondations des mathématiques, comparable à celle que la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avait apportée au début du XXe siècle.
